수학21

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  정의역과 공역이 복소수인 그래프를 나타내는 방법 - Domain Coloring 리만 가설에 대해서 찾아본 사람이라면 위 그래프를 한 번쯤 봤을 것이다.리만 제타 함수를 Domain Coloring이라는 기법을 통해 그래프로 표현한 것인데,이번 글에선 Domain Coloring에 대해서 알아보겠다. 우선 입출력이 복소수인 함수는 사실 일반적인 방법으로 표현하려면 차원 4개가 필요하다.복소평면에서 복소수의 위치를 나타낼 때 실수부와 허수부를 x와 y처럼 표현하는데,출력도 2차원으로 표현하려면 4차원의 그래프가 나와야 한다.  하지만 4차원 그래프는 그리기도 어렵고 봐도 뭔지 모를 것이기 때문에, 아니 사실 볼 수가 없기 때문에다양한 기법을 통해서 2차원이나 3차원 그래프로 가둬두게 된다. 2차원으로 가두는 방법 중 하나는 Domain Coloring이며, 설명을 시작하겠다. 일단 말.. 수학 2024. 12. 17.

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  모든 자연수의 합은 음수? - 라마누잔 합 약간 제목이 좀 유치해졌는데 다들 이런거 해보길래 해봤다.라마누잔 합에 대해서 설명하자면 모든 자연수의 합이 -1/12라는 장난?이다.물론 당연히 모든 자연수의 합은 양의 무한으로 발산하지만, 이런 값이 나오는 이유는 조건의 오류에 있다.많은 증명들을 보면 일정한 패턴의 끝없는 자연수 무리의 합을 S라는 값으로 놓고 있는 것을 볼 수 있는데,애초에 이것부터가 잘못이다. 혹시 무한대 + 무한대가 뭐라고 생각하는가? 2x무한대일까? 사실 무한대는 상태이지 수가 아니다.물론 연산이 가능한 경우도 가끔있긴 하지만 우리가 통상적으로 생각하는 계산이 불가하다. 따라서 이런 오류가 발생하는 이유는 이 값들이 "수렴"한다고 가정하고 있기 때문이다.모든 자연수의 합은 양의 무한대로 발산하지만, 수렴한다고 가정하면 -1/.. 수학 2024. 12. 17.

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  바젤 문제 증명 (테일러 급수 활용) 리만 가설에서 중요한 리만 제타 함수가 나오게 된 역사 중 하나로 바젤 문제가 중요하게 나와서마지막은 리만 가설로 가는 일환 중 하나로 바젤 문제에 대한 글을 적겠다. 먼저, 바젤 문제란 모든 자연수의 역수의 제곱의 합이 pi^2/6이라는 식을 의미한다.오일러가 이 식을 알아낸 이후로 제타 함수에 대한 관심도가 증가하여 리만 제타 함수가만들어지는 데 영향을 주었다는 그런 맥락인데, 위 식은 제타 함수에 2를 넣은 값과 같기 때문에 그런 말이 나오는 것이다.시그마를 알고 있다면 이해가 갈 것이다. 아무튼, 문제 설명은 이 정도로 하고 증명을 해보도록 하자. 테일러급수를 통해서 sin x를 전개하면 위와 같은 식이 나온다. 인터넷에 찾아보면 시그마로 이루어진간단한 식도 볼 수 있을 것이며, 테일러급수를 모른.. 수학 2024. 12. 17.

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  세상에서 가장 아름다운 수식 - 오일러 (항)등식의 가장 간단한 증명(유도). 이번 글에서는 세상에서 가장 아름다운 수식으로 불리고 있는 오일러 등식, 오일러 항등식에 대해서 알아보도록 하겠다. 인터넷에 찾아보니 테일러 공식을 활용한 유도는 볼 수 있었는데 그걸 하려면 복소 삼각함수 개념을 이해해야 하고, 복소 삼각함수를 이해하려면 또 오일러 공식 (오일러 등식의 뿌리)가 나오기 때문에 이게 원리적으로 맞는 건가? 싶고, 또한 내 기준으로는 더 어렵다고 느끼기도 해서 테일러급수와 수열을 토대로 한 새로운 공식 유도를 해보도록 하겠다. 1. 방법론 가장 먼저, 오일러 등식과 오일러 공식에 대해 구분해줘야 한다. 이건 오일러 공식이다. "공식"이기에 대입할 수 있는 x의 값이 존재한다. 반면, 이건 오일러 등식이다. 원래의 식과 조금 달라 보일 수 있으나 계산하면 우리가 아는 식이 나.. 수학 2024. 3. 20.

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  수학) 어느 각도의 포물선이 가장 멀리 날아가는가? (증명) https://alpaca-code.tistory.com/182 수학) 어느 각도의 포물선이 가장 멀리 날아가는가? (실험) 나는 중학교 3학년 때 체육 수행평가로 공 멀리 던지기를 한 적이 있었고, 친구들 입에서 포물선이라는 단어가 오갔다. 당시 중학교 내신체계는 예체능의 점수까지 반영되었고 나는 필사적으로 alpaca-code.tistory.com 위의 글은 이 글보다 먼저 작성된 실험기반의 글이다. 물리엔진을 활용하여 공을 각도마다 날려서 어느 각도에서 가장 멀리 날아가는지 확인했다. 하지만 이건 통계에 기반한 일반화에 가깝다. 실제로, 45도가 아니라 44.95도가 답이었다면 어떡할 것인가? 따라서 이번에는 가장 멀리 날아가는 각도가 45도인 이유를 수학적으로 증명하겠다. 1. 이론. 먼저, "수.. 수학 2024. 2. 3.

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  구의 부피 공식 증명 (구분구적법) 중학교 시절, 구의 부피 공식에 대해서 배운 기억이 있을 것이다.그 증명은 위의 사진과 같고, 간단히 말하면 원기둥에 물을 채우고,높이를 잰 다음, 원기둥의 부피 공식에 물이 빠진 만큼 곱해주는 방식이다.따라서 위의 공식이 성립하게 된다. 이 유도 방법은 분명 명쾌하다.  하지만 통계에 기반한 일반화에 가깝다.그래서 이번 글에서는 좀 더 수학적인 방법으로 공식을 유도해 보겠다.1. 기본적인 이론일단 기본적인 이론으로는 "구분구적법"을 사용한다."구분구적법"이란, 어떠한 도형의 넓이나 부피를 구하기 위해무수히 많은 기본도형을 더해 넓이나 부피의 근삿값을 구하는 것을 말한다.이해가 안 되더라도 괜찮다. 위의 사진을 보자. 이렇게 원기둥을 무수히 많이 쌓아서 즉, n을 무수히 많이 늘려서(=높이를 0으로 수렴.. 수학 2023. 11. 6.

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  자연상수 e. (유래, 계산법, 활용) 이번 글은 자연상수 e에 대해서 알아보겠다. 먼저 e는 2.7182818... 정도의 값을 가진 상수로, "Euler's Number"의 약자인데오일러가 이 상수를 의미 있는 숫자로 인식하고 출판한 서적에도 적어놓는 등대중화시켰기 때문에 이렇게 줄여졌다. 참고로 가장 먼저 이 수를 발견한 사람은 "베르누이"이다.1. 유래와 의의앞서 이 수를 가장 먼저 발견한 사람이 "베르누이"라고 했는데,베리누이는 이 개연성 없는 수를 어떻게 발견하게 되었을까?그는 은행에 예금을 했을 때 이자를 계산하다가 이 수를 알아내게 되었다.1 - 1. 1년에 1번만약에 1년에 1번, 100%의 이자를 받는다면 어떨까?1이라는 돈을 넣으면 1년이 지난 후 100%의 이자를 받기 때문에 1+1 = 2가 된다.1->21 - 2. 1년.. 수학 2023. 10. 25.

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  테일러 급수, 매클로린 급수. (정의와 사용방법, 실제 예제) 테일러급수란 무한번 미분 가능한 함수 f(x)에 대해 도함수(미분)를 통한 추측으로 다항함수를 구성해서 f(x)와 근사한 새로운 다항함수를 만드는 과정이다. 그리고 매클로린급수란 대입할 수(중심)를 0으로 놓고 계산하는 테일러급수의 일종이다. 따라서 테일러급수를 알면 매클로린급수도 간단히 이해할 수 있다. 솔직히 이해하기 어렵다. 베이스가 없이 이걸 공부한 사람으로서 글로 있었을 때 이해하기 굉장히 어려웠다. 단어 하나하나씩 뜯어서 보자. 무한번 미분 가능한 함수) 말 그대로 미분이 계속해서 가능한 함수를 의미한다. 가장 대표적인 함수로는 사인, 코사인 등이 있다. 도함수) 이건 한 함수를 미분했을 때 나오는 새로운 함수를 의미한다. 참고로 2계 도함수는 함수를 미분했을 때 나오는 도함수를 미분한 도함수.. 수학 2023. 10. 1.

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  수학) 어느 각도의 포물선이 가장 멀리 날아가는가? (실험) 나는 중학교 3학년 때 체육 수행평가로 공 멀리 던지기를 한 적이 있었고, 친구들 입에서 포물선이라는 단어가 오갔다. 당시 중학교 내신체계는 예체능의 점수까지 반영되었고 나는 필사적으로 공을 던졌지만 2등급 정도의 거리였다. 나는 그때부터 검색해보진 않았지만 어느 각도의 포물선이 가장 먼 거리를 나아가는지에 대한 의문을 가지기 시작했다. 이런 의문을 가졌다가, 사라지는 일상이 지속되고, 오늘 드디어 그런 의문이 증폭되어 실험을 진행했다. 내 특기인 게임엔진 유니티를 통해서 실험을 진행했다. https://alpaca-code.tistory.com/217 (수학적 증면편 새로 씀) 수학) 어느 각도의 포물선이 가장 멀리 날아가는가? (증명) https://alpaca-code.tistory.com/182 .. 수학 2023. 6. 4.

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  한국 수학 개념 영어 표기방법. 허수 : imaginary number 실수 : Real Number 자연수 : Natural (Number) 정수 : integers 유리수 : Rational Number 무리수 : irratonal Number 복소수 : complex Number 소수(정수, 소수 할 때 소수) : decimal 소수(소수, 합성수 할 때 소수) : prime Number 분수 : fraction 약수 : divisor 배수 : multiple 공약수 : common factor 공배수 : common multiple 정의 : Definition (검색할 때 쓰세요) 인수 : factor 인수분해 : factorization 방정식 : equation 부등식 : inequality 절댓값 : absolute val.. 수학 2023. 1. 28.

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  0은 짝수인가? 수학문제를 풀다가 근의 공식의 변형인 짝수공식을 0에도 대입해도 되나 싶어서 찾아보고 글을 남긴다. (내 상황에서의 결론은 짝수공식을 x의 계수가 0일 때도 써도 된다 이다) 바로 결론을 논하자면, 0은 짝수이다. 이런 문제는 우리가 짝수의 정의를 정확하게 알고 있지 않기 때문에 발생한다. 인터넷에서 "짝수 정의"를 검색해 보면 답이 풀린다. 자 2로 나누어 떨어지는 정수. 그게 짝수라고 한다. 그럼 0을 2로 나눠보자. 무엇인가? 그렇다. 당연하게도 0이다. 0이란 소리는 2로 나눴을 때 나머지가 없다는 소리이니, 0은 짝수가 맞다. 혹시나 못 믿겠다면 좀 더 검색을 해보길 바란다. 포털 상단의 모든 글에서 0이 짝수임을 나타낸다. 조금 반발심이 들 수 있는데, 사실 이건 정의를 확장한 것도 맞다. 사.. 수학 2023. 1. 16.

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  가우스 기호 [ ] 에 대해서 가우스 기호란 이름에서 알다시피, 세계 3대 수학자의 명단에 당당히 이름을 꿰차고 있는 가우스가 만든 기호이다. [x] 란 x보다 크지 않은 최대 정수를 의미한다. 크지 않은 이라는 말은, 작거나 같다를 의미한다. 본격적으로 예시를 들어보겠다. [0.2] = 0이다. 0.2보다 크지 않는 최대 정수는 0이기 때문이다. [0.99]는 어떨까? [0.99] 또한 0이다. 0.99보다 작거나 같은 정수는 0,-1,-2,-3,-4,-5... 등 무수하지만, 그중 가장 큰, 측 최대 정수는 0이기 때문이다. 여러 예시를 들어보자면 이렇다. [0] 0 [0.1] 0 [9.01] 9 [-1] -1 [-1.1] -2 [-5.5] -6 [-9.9] -10 음수는 수직선을 생각하면 쉽다. 개인적으로 뒤로 돌아간다고 생각하.. 수학 2023. 1. 10.