바젤 문제 증명 (테일러 급수 활용)

리만 가설에서 중요한 리만 제타 함수가 나오게 된 역사 중 하나로 바젤 문제가 중요하게 나와서

마지막은 리만 가설로 가는 일환 중 하나로 바젤 문제에 대한 글을 적겠다.

 

바젤 문제

먼저, 바젤 문제란 모든 자연수의 역수의 제곱의 합이 pi^2/6이라는 식을 의미한다.

오일러가 이 식을 알아낸 이후로 제타 함수에 대한 관심도가 증가하여 리만 제타 함수가

만들어지는 데 영향을 주었다는 그런 맥락인데,

 

제타 함수

위 식은 제타 함수에 2를 넣은 값과 같기 때문에 그런 말이 나오는 것이다.

시그마를 알고 있다면 이해가 갈 것이다. 아무튼, 문제 설명은 이 정도로 하고 증명을 해보도록 하자.

 

sin x 테일러 급수 전개

테일러급수를 통해서 sin x를 전개하면 위와 같은 식이 나온다. 인터넷에 찾아보면 시그마로 이루어진

간단한 식도 볼 수 있을 것이며, 테일러급수를 모른다면 아래 링크에서 확인하면 좋을 것이다.

 

https://alpaca-code.tistory.com/187

테일러 급수, 매클로린 급수. (정의와 사용방법, 실제 예제)

 

x로 나누기

이제 여기서 x로 나눠주자. x의 지수가 1씩 줄어든 것을 확인할 수 있다. 여기까지는 쉬울 것이라고 생각한다.

 

Sin x 의 근을 찾아보세요!

여기서 sin x의 근을 0, +n𝜋, -n라고 알 수 있는데, x로 나누었으니 0은 제외하고 +n𝜋, -n𝜋만 남아있다.

 

근을 통해서 식을 표현하기

이것을 다항함수처럼 최고차항의 계수를 a로 놓고 근을 지나가도록 강제한 식으로 표현하면 위와 같다.

 

x가 모두 0으로 가면 1

이건 근을 통해서 표현한 식 이전에 테일러급수로 유도한 sinx/x 식에서 x에 0을 넣으면 첫째항인 1만 남는 것으로

간단하게 유도할 수 있다. 이를 기억해 두자.

 

극한을 취했을때 1이 나오는 형식

근을 통해서 만든 곱셈식에서 극한을 취했을 때 1이 나오려면 위와 같은 식을 가져야 한다.

이 과정에서 a 또한 1로 정의된다. 여기가 살짝 어려울 수 있는데, 유도를 못하겠으면 대입을 해보고

맞다고 판단하길 바란다.

 

합차 공식

합차 공식을 이용하면 이렇게 정리할 수 있다.

 

x^2의 계수

위 식에서 x^2의 계수를 추측할 수 있게 되는데, 정리하면 우변과 같은 식으로 묶을 수 있다.

그리고 우리는 위에서 같은 식의 또 다른 x^2의 계수를 가지고 있었다. 테일러급수로 전개한 식에서의

-1/3!, 즉 -1/6이 그 대상이다. 이 둘을 같다고 놓으면 바젤 문제가 끝난다.

 

등식

이렇게 해서 모든 자연수의 역수의 제곱의 합은 pi^2/6 인 것을 알 수가 있다.

물론 오일러가 제시한 첫 증명은 이런 게 아니었지만 나름대로 쉽게 증명할 수 있는 방법 중 하나이다.

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이건 리만 가설로 가기 위한 서론쯤에 불과하다. 리만 가설 이해하기라는 보고서를 썼기 때문에

이걸 시작으로 여러 가지 이론이 올라올 것이다. 원래 여기는 느낀 점 같은 걸 적는데 지금은 왠지

생각이 안나는 것 같다. 리만 가설을 주제로 삼아서 그런가 바젤 문제에 큰 흥미가 없는 것 같기도 하다.

 

바젤 문제가 주제였다면 적을 게 더 많았을 것 같다. 사실 원래도 원리까지는 모르고 있었는데

이번 기회에 쉬운 경로로나마 알 수 있게 되어 기분이 좋다.

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이상으로 도움이 되었길 바라며,

 

끝.