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수학) 어느 각도의 포물선이 가장 멀리 날아가는가? (실험)
나는 중학교 3학년 때 체육 수행평가로 공 멀리 던지기를 한 적이 있었고, 친구들 입에서 포물선이라는 단어가 오갔다. 당시 중학교 내신체계는 예체능의 점수까지 반영되었고 나는 필사적으로
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위의 글은 이 글보다 먼저 작성된 실험기반의 글이다.
물리엔진을 활용하여 공을 각도마다 날려서 어느 각도에서 가장 멀리 날아가는지 확인했다.
하지만 이건 통계에 기반한 일반화에 가깝다.
실제로, 45도가 아니라 44.95도가 답이었다면 어떡할 것인가?
따라서 이번에는 가장 멀리 날아가는 각도가 45도인 이유를 수학적으로 증명하겠다.
1. 이론.
먼저, "수평도달거리"란 날아가는 거리를 말한다. 위의 그림에서 직선의 길이를 말한다.
수평이란 말은 x의 길이를 재는 것이기 때문에 그럴 것이다. 간단히 말하면 날아간 거리이다.
그리고 포물선의 운동공식 중, 수평도달거리에 관한 공식은 위와 같다고 한다.
v는 속력을 의미하는 변수이고, 세타(θ)는 던진 각도를 말한다.
g는 중력을 의미하는 변수이다.
속력은 일정해야 각도가 의미가 있을 것이고, 지구에서를 기준으로 하기에
g도 9.8의 값으로 고정적이다.
따라서 수평도달거리, 즉 날아간 거리가 가장 멀 각도는 sin 2θ가 최댓값일 때다.
2. Sin θ의 최댓값 찾기.
뭐 중학교 3학년 때 삼각비를 배운 사람이라면 이게 얼마인 지 알 것이다.
하지만 그것이 왜 최댓값인지 알고 있는가? 이걸 알려면 삼각함수가 나와야 한다.
교육과정으로 따지면 수학Ⅰ에서 나오게 된다. (2015 개정 교육과정 기준)
사인함수는 이렇게 단위원을 기준으로 해서 곡선의 모양으로 그려지게 된다.
원점에서 시작하여 제1 사분면에서는 증가, 제2 사분면에서는 감소,
제3 사분면에서 또 감소, 제4 사분면에서 증가하면서 2를 주기로 반복되는 그래프를 가진다.
이건 위에서 그린 그림과 같은 그래프이다.
여기서 y축을 보면 최댓값으로 1을 가지고, 최솟값으로 -1을 가지는 걸 알 수 있다.
최댓값으로 1을 가질 때의 x값을 보면 𝝿/2이다.
이건 라디안이라는 각도 체계로 각도로 변환할 수 있다. (호도법)
https://alpaca-code.tistory.com/80 (라디안 설명)
벡터의 각도 구하기(라디안, 도, 역탄젠트)
원래는 유니티 블로그지만 수학에도 관심이 많아 새로운 주제로 글을 써본다. 이 주제를 알게 된 건 굉장히 옛날부터이고 다양한 시도를 해보았지만 구할 수 없었는데 프로그래밍을 하다 벡터
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아무튼 계산하면 위의 사진과 같고, Sin이 최댓값을 가지는 각도는 90°임을 알 수 있다.
하지만 수평도달거리에서는 Sin 2θ를 최대로 만들어야 하기에
2θ는 90°이고, 2로 나눠서 θ를 구해주면 45°임을 드디어 알 수 있다...
나머지는 다 증명되었지만 수평도달거리 공식은 증명하지 못했다.
어찌 보면 이게 가장 중요한 내용일 것이라 생각하긴 하는데...
솔직히 지금은 모르겠다. 더욱 연구해서 이해가 가면 따로 글로 쓴 후,
이 글에 첨부하도록 하겠다.
인터넷을 통해 알아보고 싶다면 "포물선 운동 공식 수평도달거리 증명" 이런 식으로
검색하면 여러 자료를 볼 수 있을 것이다.
여기까지, 가장 멀리 날아가는 각도를 실험이 아닌 증명으로 알아보았다.
실험은 시각적인 측면이 재미있고 수학적 증명은 맞아떨어지는 과정이
개인적으로 재밌었다. 꼭 빠른 시일 내에 포물선 운동도 연구해서
새로운 글로 작성해 보도록 노력하겠다.
이상으로 도움이 되었길 바라며,
끝.
+몇몇 그래프 출처)
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%95%A8%EC%88%98
삼각함수 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전
위키백과, 우리 모두의 백과사전. 원함수는 여기로 연결됩니다. 어떤 함수를 도함수로 하는 함수에 대해서는 부정적분 문서를 참고하십시오. 코사인은 여기로 연결됩니다. 아프리카 남부의 민
ko.wikipedia.org
https://en.wikipedia.org/wiki/Sine_and_cosine
Sine and cosine - Wikipedia
From Wikipedia, the free encyclopedia Fundamental trigonometric functions In mathematics, sine and cosine are trigonometric functions of an angle. The sine and cosine of an acute angle are defined in the context of a right triangle: for the specified angle
en.wikipedia.org
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