수학) 어느 각도의 포물선이 가장 멀리 날아가는가? (실험)

나는 중학교 3학년 때 체육 수행평가로 공 멀리 던지기를

한 적이 있었고, 친구들 입에서 포물선이라는 단어가 오갔다.

 

당시 중학교 내신체계는 예체능의 점수까지 반영되었고

나는 필사적으로 공을 던졌지만 2등급 정도의 거리였다.

나는 그때부터 검색해보진 않았지만 어느 각도의 포물선이

가장 먼 거리를 나아가는지에 대한 의문을 가지기 시작했다.

 

이런 의문을 가졌다가, 사라지는 일상이 지속되고,

오늘 드디어 그런 의문이 증폭되어 실험을 진행했다.

내 특기인 게임엔진 유니티를 통해서 실험을 진행했다.

 

https://alpaca-code.tistory.com/217 (수학적 증면편 새로 씀)

수학) 어느 각도의 포물선이 가장 멀리 날아가는가? (증명)

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1. 구의 운동 표현하기

먼저, 구의 운동을 잘 보이게 하기 위해 Trail Renderer를 추가해 준다.

이건 유니티 관련글이 아니라 설명은 자세히 하지 않지만,

그래프가 시간에 따른 크기의 변화이고,

Trail Renderer 자체는 움직임에 따른 선을 표시해 준다.

 

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2. 물리 현상 구현

뭐 거창하게 써놨지만 사실 물리 계산은 유니티에서 제공해 준다.

내가 직접 코딩할 것도 없고 그냥 추가해 주면 된다.

 

참고로 저기 보이는 Mass는 무게인데, (kg단위)

1kg로 설정해서 적당한 무게를 맞췄다.

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3. 각도를 이용해 방향벡터 구하기

가장 난관이었던 부분이다. 인터넷의 여러 글을 참고하며,

또한 내 글 중 반대되는 격의 글인

벡터로 각도 구하기 글도 참고해서 구현했다.

 

https://alpaca-code.tistory.com/80

벡터의 각도 구하기(라디안, 도, 역탄젠트)

가상의 직각삼각형을 그리고, 각도는 알고 있고,

빗변은 방향벡터(크기가 1)이므로 1로 해주고,

남은 두 변의 길이를 각각 x, y라고 정의하면,

로 정리돼서

로 바꿀 수 있게 된다.

 

그리고 sin과 cos은 컴퓨터에서 쉽게 계산 가능하기에

이로서 방향벡터를 만들 수 있게 되는 게 내 이론이었지만

 

현실은 내 생각과 달랐다. 코드에 넣어봤을 때

사인은 정상적으로 나왔지만 코사인은 이상했고,

나는 30분 정도 찾아본 뒤 해결할 수 있었다.

 

앞서 말한 벡터의 각도 구하는 글에서도 등장했었던

라디안이 문제를 일으킨 것이다. C#(코딩)에서 제공하는

Mathf.Sin / Cos함수는 라디안 값을 넣어야 작동된다.

 

따라서 나는 각도 -> 라디안 변환식인 

을 곱해줌으로써 이 문제를 해결했다.

Vector3 Direction = new Vector3(0, Mathf.Cos(rota), Mathf.Sin(rota))

이런 난관을 거쳐 만들어낸 코드는 위와 같다.

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4. 발사하기

사실 코딩/수학을 잘 모르는 사람이 이 글을 본다면

발사하기를 가장 큰 절차로 생각했을 것이라 생각한다.

나는 5도씩 변화하는 구를 만들기 위해

반복문인 for문을 사용해 주었다.

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class Launcher : MonoBehaviour
{
    public GameObject BulletPrefab;
    public float Force;

    // Start is called before the first frame update
    void Start()
    {
        for(int i = 0; i < 91; i += 5) {
            StartCoroutine(Shoot(i * (Mathf.PI/180)));
        }
    }

    IEnumerator Shoot(float rota) {
        Vector3 Direction = new Vector3(0, Mathf.Cos(rota), Mathf.Sin(rota)) * Force;
        GameObject BulletClone = Instantiate(BulletPrefab);
        BulletClone.transform.position = Vector3.zero + new Vector3(0, 1f, 0);
        BulletClone.GetComponent<Rigidbody>().AddForce(Direction, ForceMode.Impulse);
        yield return new WaitForSeconds(0.5f);
    }
}

코딩하는 사람이 아니라면 안 보아도 상관없다.

 

그래도 설명해 보자면 5도 각도로 90도까지 발사,

위에서 말한 수학지식으로 방향 구하기,

클론 하고, 위치 리셋, 발사하기로 구성된 코드이다.

 

아무튼 여기까지 해주면 실험환경이 완성된다.

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5. 실행

이제 실행만 하면 모든 과정이 완료된다.

끌 것 없이 바로 실행을 시켜보면,

이러한 모습으로 공이 나가는 걸 볼 수 있다.

다 떨어지면 이런 모습이다. (3차원처럼 보이지만 선들은 2차원입니다.)

 

아무튼 이를 통해서 가장 바깥 구를 조사해 보면, (유니티에서 가능)

45도로 온 구임을 확인할 수 있게 됨으로써,

가장 멀리 가는 각도는 45도라는 결과가 도출된다.

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여기까지 오랜만에 코딩이라는 걸 해보았다.

요즘 학업 때문에 시험기간에는 코딩을 못하고

시험이 끝나면 코딩 책을 쓰느라 코딩을 못해서

좀 답답했는데 오랜만에 이렇게 코딩을 해서 기분이 좋다.

 

이런 문제 해결의 과정의 연속이 코딩이라 생각하는데,

이번에는 수학적 지식이 가미돼서 더 재밌었던 것 같다.

나는 게임수학 책을 사서 볼 만큼 게임수학에 관심이 많다.

(물론 내 실력으로는 어림도 없었다)

 

평소 궁금했던 걸 내가 좋아하는 코딩, 수학을 동시에

충족하며 블로그에 글까지 쓰니 기분이 좋다.

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이상으로 도움이 되었길 바라며,

 

끝.