모든 자연수의 합은 음수? - 라마누잔 합

약간 제목이 좀 유치해졌는데 다들 이런거 해보길래 해봤다.

라마누잔 합에 대해서 설명하자면 모든 자연수의 합이 -1/12라는 장난?이다.

라마누잔 합

물론 당연히 모든 자연수의 합은 양의 무한으로 발산하지만, 이런 값이 나오는 이유는 조건의 오류에 있다.

많은 증명들을 보면 일정한 패턴의 끝없는 자연수 무리의 합을 S라는 값으로 놓고 있는 것을 볼 수 있는데,

애초에 이것부터가 잘못이다.

 

혹시 무한대 + 무한대가 뭐라고 생각하는가? 2x무한대일까? 사실 무한대는 상태이지 수가 아니다.

물론 연산이 가능한 경우도 가끔있긴 하지만 우리가 통상적으로 생각하는 계산이 불가하다.

 

따라서 이런 오류가 발생하는 이유는 이 값들이 "수렴"한다고 가정하고 있기 때문이다.

모든 자연수의 합은 양의 무한대로 발산하지만, 수렴한다고 가정하면 -1/12가 나온다는 말을 의미한다.

 

증명은 아주 쉽기 때문에 링크로 대체하겠다. 그냥 어떤 패턴을 만들고 그걸 S로 놓은 다음 

빼거나 더해서 소거하다보면 도출된다. 그래서 비슷한 방법의 여러가지 증명이 인터넷이 보이는 것이다.

 

https://freshrimpsushi.github.io/ko/posts/1936/

라마누잔 합

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조금 짧은 감이 있지만 라마누잔 합 자체가 무슨 의미가 있는 것도 아니고 신기할 뿐이기 때문에

빠르게 넘어가겠다. 리만 가설의 맥락으로 보자면 제타 함수에 -1을 넣은 값이고, 이건 말이 안되기 때문에

정의역을 확장하려는 시도가 있어왔다는 의미에서 넣어봤다.

 

사실 굳이 안적어도 될 만큼 증명에 사칙연산 밖에 없어서 시간 쓰고 싶지 않았다.

의미만 정확히 짚고 넘어가자.

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이상으로 도움이 되었길 바라며,

 

끝.