정의역과 공역이 복소수인 그래프를 나타내는 방법 - Domain Coloring

리만 제타 함수

리만 가설에 대해서 찾아본 사람이라면 위 그래프를 한 번쯤 봤을 것이다.

리만 제타 함수를 Domain Coloring이라는 기법을 통해 그래프로 표현한 것인데,

이번 글에선 Domain Coloring에 대해서 알아보겠다.

 

우선 입출력이 복소수인 함수는 사실 일반적인 방법으로 표현하려면 차원 4개가 필요하다.

복소평면에서 복소수의 위치를 나타낼 때 실수부와 허수부를 x와 y처럼 표현하는데,

출력도 2차원으로 표현하려면 4차원의 그래프가 나와야 한다. 

 

하지만 4차원 그래프는 그리기도 어렵고 봐도 뭔지 모를 것이기 때문에, 아니 사실 볼 수가 없기 때문에

다양한 기법을 통해서 2차원이나 3차원 그래프로 가둬두게 된다.

2차원으로 가두는 방법 중 하나는 Domain Coloring이며, 설명을 시작하겠다.

 

일단 말했듯 원래는 4차원이 필요한데, 입력한 복소수의 실수부와 허수부는 일반 복소평면처럼

표현하고 출력되는 복소수의 특성 중 편각과 길이를 이용해 각각 명도와 색상으로 바꿔 점으로 표현한 그래프이다.

 

L은 명도 H는 색상

즉, 출력을 좌표 대신 명도와 색상을 조절하겠다는 의미이다. 이걸 결정하는 식은 위와 같다.

함숫값도 복소수라는 것을 기억하자. |f(z)|는 복소수의 크기인데, 복소평면 상에 점을 나타냈을 때

원점으로부터의 길이이다. 

 

복소수의 크기

복소평면에서의 좌표 찍는 방법과 피타고라스 정리를 안다면 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

편각은 실수축과 저 선분 OZ 사이의 각을 의미한다. arg [f(z)]로 표현되었고, arg가 편각의 기호다.

 

함수 l의 의미

l 함수는 양의 실수 r을 흑백 명도로 바꿔주는 어떤 함수라고 한다.

따라서 다양한 식이 존재하며, 양수를 명도로 치환하는 함수라고 보면 된다.

 

이렇듯 복소수의 고유 특성 중 2가지, 편각과 크기를 통해서 명도와 색상으로 변환하여

추가할 수 없는 2차원을 색으로 대체하는 아이디어를 통해 그래프가 완성되었다고 보면 된다.

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여기까지 Domain Coloring에 대해서 알아봤다.

분량이 애매한 것 같아서 추가로 다른 그래프도 대충 설명하고 넘어가겠다.

 

3차원 그래프

이런 3차원 그래프는 입력은 마찬가지로 x, y로 표현하되 z 축은 출력되는 복소수의

실수부나 허수부를 사용해서 나타낸다. 나는 Domain Coloring이 조금 더 낫지 않나 싶다.

실수부나 허수부를 포기하는 건데 의미가 조금 사라질 것 같아서 말이다.

 

5차원 이상이 필요하다면 Domain Coloring과 3차원 그래프를 섞으면 가능하지 않을까?

방금 생각한 건데 획기적인 것 같다. 그러고 보니 위 그래프도 색이 있다. 이미 있는 방식인가?

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이상으로 도움이 되었길 바라며,

 

끝.