제 2 코사인 법칙. (유도하는 방법)

전 글에서 제1 코사인 법칙을 유도해 보았다.

이번엔 제 2 코사인 법칙을 유도해보겠다.

 

https://alpaca-code.tistory.com/103(이전 글-제1코사인 법칙)

제 1 코사인 법칙.

전 글에서 얻은 정보를 가져와 보자면,

a = b cos C + c cos B

b = c cos A + a cos C

c = b cos A + a cos B 

이렇게 정리할 수 있다.

 

기준 삼각형

 

여기서 a를 구하는 식엔 a를 곱해주고,

b를 구하는 식엔 b를 곱해주고,

c도 마찬가지로 곱해주면,

 

a x a = a x b cos C + a x c cos B

b x b = b x c cos A + b x a cos C

c x c = c x b cos A + c x a cos B

로 정리할 수 있고,

간단히 정리하자면

a² = ab cos C + ac cos B

b² = bc cos A + ab cos C

c² = bc cos A + ac cos B

로 다시 한번 정리된다.

a² = ab cos C + ac cos B

- (b² = bc cos A + ab cos C)

- (c² = bc cos A + ac cos B)

첫 식에서 밑의 두 식을 빼주면,

 

a² = ab cos C + ac cos B

-b² = - bc cos A - ab cos C

-c² = - bc cos A - ac cos B

이렇게 되고,

ab cos C , ac cos B를 서로 지워서 정리해주면,

a² - b² - c² = -2bc cos A

로 정리된다.

 

여기서 a² 만 남기고 모두 넘겨주면,

a² = b² + c² -2bc cos A 

로 정리 되게 된다.

 

마찬가지로 b와 c도 정리해주면,

 

a² = b² + c² -2bc cos A

b² = c² + a² - 2ac cos B

c² = a² + b² - 2ab cos C

이렇게 세 식으로 정리되고,

 

이것이 제2 코사인 법칙이다.

이걸 변형하면 cos A , B , C만 남기고

우변으로 넘길 수도 있다.

 

이상으로 도움이 되었길 바라며,

 

다음은 헤론의 공식이다.

https://alpaca-code.tistory.com/105(헤론의 공식 유도)

헤론의 공식(세변의 길이로 넓이 구하기)

 

끝.