이산 수학] 고유값과 고유 벡터

고유값 (λ)

: 행렬의 방향성을 제하고 스케일을 숫자로 나타낸 값입니다. 

정의

 

구체적인 정의는 이와 같습니다.

 

고유값 구하는 법

AX = λX

AX = λ I X (단위행렬을 임의로 곱한다)

 

AX - λ I X = 0

(A - λ I)X = 0 (이 식을 A의 특성방정식이라 한다)

 

이 식에서 고유벡터 X가 영행렬이면 안되기 때문에,

(A - λI)는 역행렬이 존재하지 않아야 하고,

따라서 det(A - λI) = 0 이다.

 

A와 I의 성분을 알고 있기 때문에 풀이를 통해 구할 수 있다.

예제1

고유 벡터(X)

: 고유 벡터란 행렬 집단을 대표할 수 있는 벡터를 의미합니다. 이 계산에서 고유값이 필요하기에, 고유값을 먼저 구해야겠죠?

고유벡터 구하기

 

고유벡터 구하기 2

 

고유값을 구한 이후에는 각 고유값에 대해서 식을 전개해주면됩니다.

행렬 전체를 대표하는 값들이니까 차원이나 입력값이 다른 상황에서 활용할 수 있겠습니다.