이산 수학] 소행렬과 여인수 전개를 통한 행렬식 구하기

보통 3x3이상의 행렬식을 구하기 위해서는 복잡한 방법들이 필요하지만

소행렬과 여인수를 이용하면 계산 가능한 수준으로 차원을 낮춰 합칠 수 있다.

 

예를들어 3x3 행렬은 소행렬로 2x2 3개로 쪼개어 여인수로 합치는 식이다.

4x4 또한 복잡한 공식을 모르더라도 3x3 여러개로 쪼개고, 3x3을 2x2 여러개로 쪼개어 구할 수 있겠다.

 

소행렬

소행렬이란 기존 정방행렬에서 특정 행과 열을 삭제한 행렬을 말한다.

소행렬

가령 이런식이다. 1행, 1열을 없애라는 M_{11}로 표시하며 그 부분이

삭제되어 저런식으로 남게 된다. 행렬식을 구하기 위하는데 초점이 있기에

저런 기호로 묶어준 모습이고, 곧바로 행렬식 공식을 써준 모습이다.

 

이제 이걸 3번 해서 더하면 끝이긴 한데, 한가지 규칙이 존재한다.

여인수 (전개)

여인수

이렇게 소행렬을 더할때 부호를 따져야한다. 그 표같은 존재가 여인수이다.

왼쪽 최상단에서 +로 시작해서 -와 번갈아간다고 생각하면된다.

 

그래서 2x2 행렬식을 계산해서 3번 더할때 부호는 서로 다 다르게 된다.

 

예시

A

가령 이러한 행렬 A의 행렬식을 구해보도록 하자.

1, 1

1행 1열을 없애보면 이와 같다. 여기서 1, 1의 여인수 부호가 +이기에 기존 행렬식 공식 그대로다.

여기서 기존 행렬식 공식 앞의 1이라는 계수는, A_{11}의 원소이다.

 

1, 2

1행 2열을 없애보면 이와 같다.

1, 2의 여인수 부호가 -이기 때문에, 계산 결과에 -를 붙여준다.

여기서 기존 행렬식 공식 앞의 2이라는 계수는, A_{12}의 원소이다.

 

1, 3

1행 3열을 없애보면 이와 같다.

1, 3의 여인수 부호가 + 이기에 다시 원래대로 나온다.

여기서 기존 행렬식 공식 앞의 3이라는 계수는, A_{13}의 원소이다.

 

따라서 이 3개의 값을 더해주면 det(A)를 구할 수 있다.