미적분학1] 엡실론 - 델타 논법.

고등학교 때 극한의 정의를 보면 '한없이 가까이 다가간다'와 같은 표현을 사용하곤 한다. 

다만 '가까이'라는 표현 자체도 그렇고 위 문장은 수학적이라고 보기가 어렵다.

기초

위 기호는 'x가 a에 한없이 가까이 다가가면 f(x)가 L에 한없이 가까이 다가간다'고 읽으면 된다.

이 문장의 정의, 의미를 이 글에서 자세히 파악해본다.

 

'가까이'에 대해

가까이는 상대적인 기준이다. 즉, 수학적으로 독립적으로 존재할 수 없는 개념이다.

'x가 a가 가까이 다가감'이 'f(x)가 L에 한없이 가까이 다가감'을 보장한다라고 해석이 가능하다.

ε - δ 논법

극한이 정확히 무엇인가를 증명하기 위한 이론이다.

∀ε > 0,

임의의 양수 입실론에 대하여

 

|f(x)-L| < ε어떤 한계보다도 f(x)가 L에 가까움에 제한이 없다.

 

그러면 ε은 얼마나 작은 양수여야하는지가 중요해지는데,

여기서 델타가 등장한다.

 

∀ε > 0 ∃ δ > 0,

-> 임의의 양수 입실론에 대하여 델타가 존재해서,

(델타 또한 입실론에 대해 종속적인 변수임)

 

0 < |x - a| < δ인 모든 x에 대하여

 -> a와 x 사이의 거리가 δ 보다 작다.

(0보다 크다가 붙은 이유는 x는 a가 아니기 때문)

 

|f(x) - L| < ε 이다.

-> 즉, a를 기준으로 δ만큼 떨어진 구간안에 있는 x는

L을 기준으로 ε만큼 떨어진 구간 안에 있는 f(x)와 대응된다.

 

여기서 δ 가 ε 에 종속된 변수이기에, 임의의 양수 ε 이라는

조건에 의해서 한없이 가까이 감을 수학적으로 증명할 수 있다.

예시. (직관적 이해)

예시

0.75 < x < 1.25 (x != 1)이면, 2.313 < f(x) < 3.813 이다.

 

 

0 < |x - 1| < 0.25 => |f(x) - 3| < 0.813이다.

(구간 안에 들어가는걸 보장할 수 있다)

 

여기서 ε = 0.813, δ = 0.25라고 할 수 있다.

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0.9 < x < 1.1 (x != 1)이면, 2.710 < x < 3.310이다.

 

0 < |x-1| < 0.1 (x != 1)이면, |f(x) - 3| < 0.310 이다. (더 큰 쪽을 잡아야 보장된다)

 

이때 ε = 0.310, δ = 0.1라고 할 수 있다.

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0.99 < x < 1.01 (x != 1)이면, 2.970 < x < 3.030이다.

 

0 < |x-1| < 0.01 (x != 1)이면, |f(x) - 3| < 0.030 이다. (더 큰 쪽을 잡아야 보장된다)

 

이때 ε = 0.03, δ = 0.01라고 할 수 있다.

 

반복하면 직관적으로는 이걸 계속 진행했을때 입실론 델타 논법을 귀납적으로 추론할 수 있다.

 

+

"함수 f가 a에서 수렴한다"의 정의

∃ L ∈ R, lim_{x -> a} f(x) = L

 

이때 L을 f의 a에서의 극한값이라고 한다.